数Ⅰ 因数分解③～2乗-2乗型～

2回にわたって、たすき掛けを利用した因数分解を紹介しました。
1回目　数学Ⅰ　因数分解　たすきがけ | 猿山高校 (monkey-studying.com)
2回目　数学Ⅰ　因数分解　たすきがけ（2文字） | 猿山高校 (monkey-studying.com)
因数分解も今回で最後です。最後は、たすき掛けを使わないものです。次の公式を使います。
〇² – △² = (〇+△)(〇-△)

早速、問題を解いていきましょう。
＜例題1＞次の式を因数分解しなさい。
(1) x²-y²-2y-1　(2) a²b+ab²-b²c-bc²+a²c-ac² (3) x⁴+4x²+16

＜解答・解説＞
(1) 後を－でくくってやると、2乗-2乗の形になりそうです。
x²-y²-2y-1 = x² – (y²+2y+1) = x² – (y+1)² = (x+y+1)(x-y-1)

(2)一見難しそうですが、とりあえず1つの文字について整理すると、見通しが良くなります。
ここでは aについて整理してみます。
a²b+ab²-b²c-bc²+a²c-ac² = (b+c)a²+(b²-c²)a-b²c-bc²
次に因数分解できそうなところを因数分解していきましょう。
(b+c)a²+(b²-c²)a-b²c-bc² = (b+c)a²+(b+c)(b-c)a-bc(b+c)
すべての項が(b+c)を持っているので、これでくくりましょう。
(b+c)a²+(b+c)(b-c)a-bc(b+c)= (b+c){a²+(b-c)a-bc}
最後に後ろを因数分解しましょう。たすき掛けでもいいですし、a²の係数が1なので、かけて
-bc、足してb-cになる数を探してもいいです。bと-cならうまくいきそうなので、
(b+c){a²+(b-c)a-bc}= (b+c)(a+b)(a-c)
と因数分解できます。

(3)は初見ではできないと思います。少しやり方が特殊です。まず、x⁴+16を作ることから考えます。(x²+4)²を計算すれば、x⁴+8x²+16なので、x⁴+16が出てきます。問題は8x²ではなくて4x²になってますから、(x²+4)²　から4x²を引けばいいです。言葉で説明すると難しいですが、要は次の式が成り立つということです。
x⁴+4x²+16 = (x²+4)² – 4x²
これは2乗-2乗の形になっていますから、公式が使えて、
(x²+4)² – 4x² = (x²+4+2x)(x²+4-2x) = (x²+2x+4)(x²-2x+4)
と因数分解できます。
今回のまとめは以下をご覧ください。