数Ａ　合同式

今回は合同式について解説します。教科書では発展項目となっていますが、そんなに難しいものでもないので理解しておきましょう。ただ、合同式を使わないと絶対解けない問題とかはないです。あくまで、合同式を使うと簡単に解答を書けるので武器として持っておこう、というスタンスで勉強しましょう。
練習問題を解いてみたい方はこちらです。
数Ａ　合同式問題演習 | 猿山高校 (monkey-studying.com)

で、まずは合同式とは何かを簡単に説明しますと、余りに着目して計算をしましょう、というものです。例えば、14と17は3で割ったあまりが2で等しいです。
このとき、14 ≡ 17 ≡ 2 (mod 3) と書きます。
では、14+17を3で割った余りはどうでしょう。14+17くらいなら暗算でもできますが、合同式を使って計算すると、
14+17 ≡ 2+2 ≡ 4 ≡ 1 (mod 3)
と書けます。要は、14+17を3で割った余りは、14を3で割った余りと17を3で割った余りを足したものを3で割った余りに等しいということです。
足し算ではありがたみが分かりにくいかもしれませんが、14×17を3で割った余りを求めてみましょう。こちらも余りどうしを掛け算すればよく、
14×17 ≡ 2×2 ≡ 4 ≡ 1 (mod 3)
で余りは1と求まります。かなり便利ですね。

＜例題＞nを自然数とする。n²を3で割った余りは0か1であることを証明しなさい。

＜解答・解説＞
問題自体は中学数学レベルですね。まずは、合同式を使わずに解答を書いてみます。
nを3で割った余りは0,1,2のいずれかであるから、nは3k,3k+1,3k+2 (kは整数)のいずれかである。
n = 3kのとき、n² = (3k)² = 9k² = 3・3k² であり、3k²は整数だから、3で割った余りは0。
n = 3k+1のとき、n² = (3k+1)² = 9k²+6k+1 = 3(3k²+2k)+1であり、3k²+2kは整数だから、3で割った余りは１。
n = 3k+2のとき、n² = (3k+2)² = 9k²+12k+4 = 3(3k²+4k+1)+1であり、3k²+4k+1は整数だから、3で割った余りは1。
以上より、n²を3で割った余りは0か1である。（証明終わり）

では、次に合同式を使って書いてみます。
nを3で割った余りは0,1,2のいずれかである。
n ≡ 0 のとき、n² ≡ 0² ≡ 0 (mod 3)
n ≡ 1 のとき、n² ≡ 1² ≡ 1 (mod 3)
n ≡ 2 のとき、n² ≡ 2² ≡ 4 ≡ 1 (mod 3)
以上より、n²を3で割った余りは0か1である。

かなり楽な解答になりました。