今回は、合同式の問題演習をしていきます。合同式とは何かは別で解説しているのでそちらをご覧ください。数Ａ 合同式 | 猿山高校 (monkey-studying.com)
合同式を使わないと必ず解けないというわけではないですが、合同式を使った方が楽に解ける場合があるので、気楽に勉強していきましょう。
＜例題1＞2100を7で割った余りを求めなさい。
＜解答＞
もちろん2100を計算して7で割るというのも立派な解法ではありますが、時間の限られているテストや入試ではやりたくないです。いきなり2100を計算するのではなく7で割って余りが1になるところを探すのがポイントです。
21=2≡2 (mod7)
22=4≡4 (mod7)
23=8≡1 (mod7)
見つかったら、これを使って2100に近づけていきます。
2100 = (23)33・2 ≡ 133・2 = 2 (mod7)
これより、求める余りは2と求まります。
1は何乗しても1ですから、かなり計算が楽になります。
＜例題2＞
自然数a,b,cは a2 = b2 + c2 を満たしている。bとcの少なくとも一方は3の倍数であることを示せ。
＜解答＞
b,cともに3の倍数でないと仮定して矛盾が生じれば、どちらかは3の倍数と言えますから、この方針で行きましょう。
bを3の倍数でないとすると、b≡1 (mod3) か b≡2 (mod3)である。
b≡1のとき、b2=1≡1 (mod 3)
b≡2のとき、b2=4≡1 (mod 3)
であるから、b2を3で割った余りは1である。
同様に、c2を3で割った余りも1であるから、
a2 = b2 + c2 ≡ 1+1 =2 (mod 3) となる。
ところが、aは3の倍数であればa2を3で割った余りは0、aが3の倍数でないならばa2を3で割った余りは1であるから、これは矛盾である。
したがって、b,cの少なくとも一方は3の倍数である。
これは合同式使うほどでもないかもですね。
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